Interesse discreto e interesse istantaneo
Abbiamo visto che in finanza il fattore tempo assume un ruolo preponderante. Un Euro oggi vale di più infatti dello stesso Euro disponibile tra 1 anno. Questo perchè con un Euro disponibile oggi si possono fare molte più cose che con un Euro che è disponibile soltanto tra 1 anno! In questo secondo caso non c’è altro da fare che aspettare!
Al limite potremmo mettere il nostro Euro sotto il materasso ed attendere lo stesso 1 anno. In questo caso però tra 1 anno troveremo sempre lo stesso Euro, senza averlo fatto fruttare in nessun modo.
Ma invece che metterlo sotto il materasso potremmo investirlo in oro oppure comprare un’ azione di una data compagnia. Se questo genere di operazioni vi sembra troppo rischioso, potreste sempre segliere di prestare quell’Euro a qualcuno che è disponibile a sopportare il rischio dell’investimento e che vi garantisce il rimborso del vostro Euro tra 1 anno con in aggiunta un piccolo ‘extra’. Quell’ ”extra” si chiama “interesse“.
Questo è precisamente quello che le banche fanno, esse prendono in prestito i vostri risparmi e li investono sotto molteplici forme e con livelli di rischio differenti. In questo modo esse riescono a ridurre il “rischio complessivo“. Prendendo a prestito inoltre da moltissimi risparmiatori le banche riescono ad investire a condizioni tali che l’individuo medio non potrebbe mai sperare di ottenere, producendo così i loro cospicui utili. (L’utile delle banche, lo ricordiamo, è dato essenzialmente dalla differenza tra gli interessi ottenuti sui loro impieghi e gli interessi corrisposti ai loro debitori, cioè ai prestatori effettivi di capitale.)
Le banche competono tra di loro per farsi prestare danaro dai risparmiatori offrendo appunto loro “relativamente” più alti tassi di interesse dei loro concorrenti, cioè di altre banche. I liberi mercati dei capitali e la possibilità per il risparmiatore di cambiare velocemente banca assicurano che i tassi di interesse restino abbastanza omogenei e quindi non si modifichino più di tanto da una banca all’altra.
Ecco tra l’altro perchè al risparmiatore (o al correntista) accorto e avveduto non interessa tanto il tasso di interesse in sè, a meno che non abbia ingenti somme a disposizione, ma il livello (e soprattuto il costo, alias commissioni) dei singoli servizi e l’affidabilità della banca in questione.
Passiamo ora ad occuparci di qualche formula, per poter meglio capire quale sia la differenza tra un interesse discreto ed uno istantaneo. Denotiamo il tasso di interesse con la lettera ‘r‘ (erre minuscola) ed assumiamo intanto che questo tasso non cambi nel corso del tempo (anche se in pratica non è così!). Il tasso di interesse può essere semplice oppure composto.
Più precisamente l’interesse è semplice quando esso è commisurato soltanto sull’ammontare del capitale prestato inizialmente, mentre è composto quando il prestatore percepisce anche interessi sull’interesse (già maturato si intende!)
Le forme di interesse composto di suddividono in particolare in 2 categorie: quelle a interesse composto discreto e quelle a interesse composto istantaneo. Vediamo subito qualche esempio pratico.
Supponete di investire 1 Euro in una banca ad un tasso discreto di interesse r pagabile 1 sola volta l’anno: alla fine dell’anno il vostro conto corrente mostrerà un saldo di:
1 x (1 + r)
Se il tasso di interesse fosse il 10%, alla fine dell’anno avreste € 1,10 (1 Euro e 10 centesimi di Euro)
Dopo 2 anni avreste invece:
1 x (1 + r) x (1 + r) = (1 + r)2
Cioè 1 x ( 1 + 0.10) x (1 + 0.10) = (1 + 0.10) 2 = € 1,21 (1 Euro e 21 centesimi). Dopo n anni avrete (1 + r) n . Questo è un esempio di interesse composto discreto.
Ora supponete invece di ricevere m pagamenti per interesse durante l’anno (ad intervalli periodici di tempo quindi pari a 1/m) ad un tasso pari a r/m per anno. Alla fine dell’anno il vostro conto mostrerà un saldo pari al risultato di questa formula:
Adesso immaginate che questi pagamenti periodici per interessi vengano ricevuti ad intervalli sempre più ravvicinati ma nel contempo ad un tasso sempre più piccolo (1/m frazioni di anno e al tasso r/m ; poichè il denominatore m cresce, la frazione r/m decresce per un dato valore di r)
Se sostituiamo m con il “limite per m che tende ad infinito…” (per i non matematici ciò equivale a vedere cosa succede all’intero fattore se m è sufficientemente grande) , l’espressione di prima diventa:
La parte di destra significa “equivalente a..” er (e è il numero di nepero, base dei logaritmi neperiani ed equivale al numero 2,7182818285) quindi a ‘e’ (elevato alla) ‘r’.
Questa formula ci dice a quanto ammontano capitale e interessi al termine dell’anno nell’ipotesi che venga applicato il tasso di interesse istantaneo.
Se gli anni sono più di 1 si avrà ert (dove t è il numero di anni 1,2,3,…..t). Questa espressione permette di porre in relazione un valore attuale ad un valore futuro di una determinata operazione finanziaria (che, lo ricordiamo, può essere indifferentemente un prestito oppure un investimento).
Più precisamente l’espressione di cui sopra serve a calcolare il valore futuro a partire da quello attuale di una determinata operazione, mentre per calcolare il valore attuale, noto quello futuro, la formula è semplicemente la seguente:
e-r(T-t) , che quivale a scrivere: e-rt
Per esempio, supponiamo che r valga 5%, cioè 0.05; quindi il valore attuale di un milione di euro (€ 1.000.000,00) da riceversi tra 2 anni (t=2) sarà:
€ 1.000.000,00 x e-0.005 x 2= € 904.837,41
(provate con la calcolatrice scientifica di windows sostituendo ad e il numero 2,7182818285!)
Il valore attuale risulta chiaramente inferiore al valore futuro dell’operazione. I tassi di interesse sono un fattore molto importante per determinare il valore attuale dei flussi di cassa futuri.